1. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Es sei f : A → B eine Funktion. Man zeige: Wenn f rechts invertierbar ist (d.h. wenn eine Funktion g : B → A mit f ∘ g = id_{B} existiert), dann ist f surjektiv.

2. Es sei f : A → B eine Funktion. Man zeige: Wenn f surjektiv ist, dann ist f rechts invertierbar.

3. Es seien f : A → B, g : B → C Funktionen. Man zeige: Wenn g ∘ f : A → C surjektiv ist, dann ist g surjektiv. (Hinweis: Ersetze “surjektiv” durch “rechts invertierbar”.)

4. Man konstruiere zwei Funktionen f : A → B, g : B → C, sodaß gilt:

• f ist injektiv, aber nicht surjektiv.

• g ist surjektiv, aber nicht injektiv.

• g ∘ f : A → C ist sowohl injektiv als auch surjektiv.

5. Man gebe eine Funktion f : ℝ → ℝ an, die injektiv, aber nicht surjektiv ist.

6. Es sei A = [0, 1] die Menge aller reellen Zahlen x mit 0 ≤ x ≤ 1. Es sei B = (0, 1) die Menge aller reellen Zahlen y mit 0 < y < 1. Man gebe eine surjektive Funktion f von A nach B an.

7. Gegeben sei die Funktion

f : ℝ → ℝ, x ↦ 4x^{3} + 2.

Ist f bijektiv? Wenn ja, wie lautet die inverse Funktion?