10. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Man berechne die Bogenlänge der Hyperbel xy = 1 zwischen den beiden Punkten (\frac{1}{2}, 2) und (2, \frac{1}{2}). (Zur Berechnung sollte ein Programm wie in Beispiel 2 von Zettel 9 eingesetzt werden, die Stammfunktion ist von Hand schwer zu finden.)

2. Für welche α ∈ ℝ existiert das uneigentliche Integral ∫_{1}^{∞} x^{α}dx ?

3. Man berechne das Integral ∫_{0}^{1} f(t)dt, wobei f : ℝ → ℂ die Funktion t ↦ f(t) = cos(t) + i sin(t) = e^{it} ist.

4. Man berechne den Wert des Integrals von f(z) = \frac{1}{z} von z_{0} = 1 bis z_{1} = −1 entlang dem Integrationsweg C_{1} : [0, π] → ℂ, t ↦ cos(t) + i sin(t).

5. Man berechne den Wert des Integrals von f(z) = \frac{1}{z} von z_{0} = 1 bis z_{1} = −1 entlang dem Integrationsweg C_{2} : [0, π] → ℂ, t ↦ cos(t) − i sin(t), und überprüfe ob das Ergebnis mit Beispiel 3 übereinstimmt.

6. Man berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe

x ↦ f(x) = 1 − cx^{2} + c^{2}x^{4} − c^{3}x^{6} …,

und berechne f(1) (falls x = 1 im Konvergenzbereich liegt).

7. Man berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe

x ↦ g(x) = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} … = ∑_{i=1}^{∞} \frac{x^{i}}{i} ,

und berechne g(\frac{1}{2}) (falls x = \frac{1}{2} im Konvergenzbereich liegt).