11. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Man berechne die Taylor-entwicklung der Funktion x ↦ ln(x) um x_{0} = 1, 2, 3. Wie lautet die allgemeine Formel für die Taylor-Entwicklung von ln(x) um x_{0}?

2. Man berechne den Konvergenzbereich für die drei Taylor-Entwicklungen von x ↦ ln(x) in Beispiel 1.

3. Man verschaffe sich Zugang einem Programm, mit dem man die Taylor-Entwicklungen von Funktionen der Bauart x ↦ x^{x} berechnen kann.

4. Man bestimme den Konvergenzradius der Taylor-Entwicklung von x ↦ \frac{1}{1+x+x^{2}} in Abhängigkeit von x_{0}.

Hinweis: Man erweitere die Funktion zu einer komplex differenzierbaren, berechne deren Singularitäten, und für jedes x_{0} ∈ ℝ den Abstand zur nächsten Singularität.

5. Man berechne die allgemeine Lösung der Differentialgleichung x′(t) = tx(t) durch Potenzreihen-Ansatz.

6. Man versuche, einen geschlossenen Ausdruck für die Lösung von Beispiel 5 zu finden.

7. Man finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung x′ = x^{\frac{1}{2}} .