12. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Man berechne die allgemeine Lösung der Differentialgleichung x′ = −\frac{x}{t}.

2. Man zeichne das Richtungsfeld und einige Lösungskurven der Differentialgleichung x′ = −\frac{x}{t}.

3. Ist das Anfangswert-Problem x′ = −\frac{x}{t}, x(1) = 1, im Intervall t ∈ [1, 2] eindeutig lösbar?

4. Man verschaffe sich Zugang zu Software, mit der die allgemeine Lösung von Differentialgleichungen der Art x′ = x + t berechnet werden kann.

5. Man berechne die allgemeine Lösung des Anfangswert-Problems x′ = x+t, x(0) = 0, mit der Methode des Potenzreihen-Ansatzes.

6. Man zeige für beliebiges d ∈ ℝ, daß x(t) = te^{−dt} eine Lösung der linearen Differentialgleichung x′′ + 2dx′ + d^{2}x = 0 ist.

7. Man löse das Anfangswert-problem x′′ +x = t, x(0) = x′(0) = 0, mit Hilfe der Laplace-Transformation. Man verwende die beiliegende Wertetabelle und die Gleichung \frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)} = \frac{1}{s^{2}} − \frac{1}{s^{2}+1}.

\begin{matrix}f(t) & L(f)(s) \\ t^{n} & \frac{n!}{s^{n+1}} \\ sin(t) & \frac{1}{s^{2}+1} \\ cos(t) & \frac{s}{s^{2}+1} \end{matrix}