3. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Hat die Folge

(n^{(−1)^{n}})_{n} = (0, \frac{1}{1}, 2, \frac{1}{3}, 4, \frac{1}{5}, 6, \frac{1}{7}, …)

einen Häufungswert bzw. einen Grenzwert? Wenn ja, welchen?

2. Man bestimme numerisch den Grenzwert der Folge ((1 + \frac{1}{n})^{n})_{n} auf 6 Dezimalstellen genau.

3. Man schätze (durch Beobachtung der ersten Glieder, ca. 20 müßten reichen) die Anzahl der Iterationen, die notwendig sind, um die Grenzwerte der rekursiv definierten Folgen (a_{n})_{n} und (b_{n})_{n} bis auf die Genauigkeit von 100 Dezimalstellen zu bestimmen:

a_{0} = 0, a_{n+1} = cos(a_{n}); b_{0} = 1, b_{n+1} = \frac{a_{n} + 3/a_{n}}{2} .

Wie hoch ist der Index des Folgenglieds bei der Bestimmung des Grenzwerts der Folge in Beispiel 2 auf 100 Stellen?

4. Man bestimme den Grenzwert der Folge (\frac{n+1}{n}(2+ \frac{3}{n^{2}} ))_{n} mittels Grenzwert-Rechenregeln.

5. Man bestimme den Grenzwert der Folge (\frac{1}{log n}(\frac{7n}{8n+1}))_{n} mittels Grenzwert-Rechenregeln.

6. (J.-M. Muller) Man bestimme numerisch den Grenzwert der rekursiv definierten Folge

a_{0} = \frac{11}{2}, a_{1} = \frac{61}{11}, a_{n+1} = 111 − \frac{1130 − 3000/a_{n−1}}{a_{n}} .

7. (J.-M. Muller) Man bestimme mit Hilfe der Grenzwert-Rechenregeln den Grenzwert der Folge

a_{n} = \frac{6^{n+1} + 5^{n+1}}{6^{n} + 5^{n}} = \frac{6 + 5(\frac{5}{6})^{n}}{1 + (\frac{5}{6})^{n}} .