4. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Ist 4^{n} ein O(2^{n})? Ist 2^{n} ein o(4^{n})?

2. Die Folge (a_{n})_{n} sei wie folgt definiert:

a_{3n} = \frac{1}{2n + 1}, a_{3n+1} = \frac{1}{2n + 2}, a_{3n+2} = \frac{−1}{n + 1}.

Man zeige, daß die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = 1 + \frac{1}{2} − 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} − \frac{1}{3} …

konvergiert und den gleichen Grenzwert besitzt wie die Reihe

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − \frac{1}{6} ….

3. Die Folge (b_{n})_{n} ist durch Umordnung der Reihe (a_{n})_{n} aus Beispiel 2 wie folgt definiert: b_{4n} = a_{3n}, b_{4n+2} = a_{3n+1}, b_{2n+1} = a_{3n+2}. Man berechne ∑_{n=0}^{∞} b_{n}.

4. Die Folge (a_{n}, b_{n})_{n} in ℝ^{2} sei durch die Rekursion

(a_{0}, b_{0}) = (1, 0), (a_{n+1}, b_{n+1}) = (\frac{a_{n} − b_{n}}{2} + 1, \frac{a_{n} + b_{n}}{2} )

definiert. Man bestimme den Grenzwert numerisch und graphisch (durch Zeichnen einiger Glieder in der Koordinaten-Ebene).

5. Man zeige, daß die Reihen ∑_{i=0}^{∞} \frac{sin(i)}{2^{i}} und ∑_{i=0}^{∞} \frac{i}{4^{i}} konvergieren.

6. Ist die Funktion max : ℝ^{n} → ℝ, (a_{1}, …, a_{n}) ↦ max(a_{1}, …, a_{n}) stetig?

7. Man berechne eine Nullstelle der Funktion f : [0, 2π] → ℝ, x ↦ cos(x) − \sqrt{(}x)

mit dem Bisektionsverfahren. Wieviel Schritte sind nötig, um eine Genauigkeit von 3 Dezimalstellen zu erreichen?