5. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Für die folgenden Funktionen f : ℝ − {0} → ℝ berechne man numerisch lim_{x→0} f(x), falls existent: f(x) = \frac{sin(x)}{x}, f(x) = \frac{1−cos(x)}{x}, f(x) = sin(\frac{1}{x}). Man skizziere auch jeweils den Graph der Funktion in der Nähe von x = 0.

2. Man berechne die Ableitung der Funktion sin : ℝ → ℝ, x → sin(x). Hinweis: Man verwende die Formel sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) und Beispiel 1.

3. Man beweise: Wenn f : ℝ → ℝ bijektiv und differenzierbar ist, und wenn f′(x) ≠ 0 für alle x, dann ist f^{−1} : ℝ → ℝ ebenfalls differenzierbar und es gilt (f^{−1})′(x) = \frac{1}{f′(f^{−1}(x))}. Hinweis: Man verwende die Kettenregel.

4. Man verschaffe sich Zugang zu Software, mit der man Ausdrücke der Art \sqrt{\frac{1}{(cos(x))^{2}} − (tan(x))^{2}} differenzieren kann. (Was ist das Ergebnis?)

5. Es seien a, b, c, d ∈ ℝ. Es sei f : ℝ → ℝ die Funktion x ↦ ax^{3}+bx^{2}+cx+d. Man berechne die Gleichung der Tangente T an den Graph von f im Punkt (0, d).

6. Warum ist die Funktion abs : ℝ → ℝ, x ↦ |x|, an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

7. Wie groß ist die Höhe, die im freien Fall zurüeckgelegt werden muß, um beim Aufprall eine Geschwindigkeit von 30km/h (bzw. 40 km/h, bzw. 50 km/h) zu erreichen? Hinweis: Man verwende die in der Vorlesung hergeleitete Weg-Zeit-Funktion für den freien Fall.

Zusatzfrage: Ein Sprung aus der errechneten Höhe ist vergleichbar mit einem Aufprall mit einem Auto an ein stehendes Hindernis mit der angegebenen Geschwindigkeit. Welche Folgerungen lassen sich ziehen?