6. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Es sei f : [0, 1] → [0, 1] die Funktion x ↦ ^{7} \sqrt{1 − x}. Man finde zwei Zahlen a, b, 0 < a < b < 1, sodaß die rekursive Folge x_{n+1} = f(x_{n}) mit Startwert x_{0} ∈ [a, b] in [a, b] bleibt, und gleichzeitig der Betrag der Ableitung durch eine Zahl q < 1 beschränkt ist.

2. Man berechne den Fixpunkt der Funktion f : [0, 1] → [0, 1] aus Beispiel 1 numerisch.

3. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} die Funktion

(x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{2}, 111 − \frac{1130 − 3000/x_{1}}{x_{2}} ) .

Man berechne die Ableitung von f an der Stelle (6, 6).

4. Es sei g : ℝ^{2} → ℝ^{2} die Funktion

(x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{2}, −13.8888x_{1} + 17.5x_{2}).

Es sei (p_{n})_{n} die Folge in ℝ^{2} definiert durch die Rekursion p_{n+1} = f(p_{n}) und Startwert p_{0} = (6, 5). Konvergiert die Folge? Man berechne die Anfangsglieder numerisch.

5. Man zeichne die Anfangsglieder der Folge aus Beispiel 4 in der Koordinatenebene. Wie bezeichnet man den Typ der linearen Transformation g?

6. Es sei f : ℂ → ℂ die Funktion z ↦ z^{2} − 0.5. Man berechne die Fixpunkte von f.

7. Welche der beiden Fixpunkte in Beispiel 6 ist attraktiv/repulsiv? Bemerkung: wenn ein attraktiver Fixpunkt existiert, dann ist die zu c =

−0.5 gehörende Julia-Menge zusammenhängend. Siehe http://classes.

yale.edu/fractals/MandelSet/welcome.html .