7. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Man berechne eine Nullstelle von x ↦ x^{3} − 7 mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens (numerisch).

2. Man konstruiere ein Verfahren zur Berechnung der Kubikwurzel ^{3} \sqrt{a} für gegebene reelle Zahl a, mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens.

3. Man berechne numerisch die Folge des Newton-Verfahrens zur Berechnung von Nullstellen der Funktion x ↦ x^{3} − x für verschiedene Startwerte x_{0}, z.B. x_{0} = 2, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.45. Versuchen Sie, den Startwert zu finden, bei dem die Folge zwischen zwei Werten hin- und herspringt.

4. Man berechne numerisch den Grenzwert der Folge des Newton-Verfahrens zur Berechnung der Funktion ℂ → ℂ, z ↦ z^{3}−1, für den Startwert z_{0} = 1+i.

5. Für welche Startwerte konvergiert die Newton-Folge in Bespiel 4 gegen die Nullstelle z = 1? Man suche die Antwort im Internet, z.B. auf der Seite http:

//classes.yale.edu/fractals/MandelSet/ComplexNewton/NewtonBasins/
Basins3.html.

6. Man finde alle lokalen Extremstellen und Extremwerte der Funktion s

f : [0, 2π] → ℝ, x ↦ sin(x) + cos(2x).

7. Man maximiere das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche bei gegebener Oberfläche.