8. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Man maximiere die Fläche eines Rechtecks (Länge l, Breite b) unter der Nebenbedingung, daß l + 2b = K konstant ist (Umzäunung einer Wiese entlang einer Mauer).

2. Wie lang darf eine Leiter höchstens sein, damit man sie liegend um eine Ecke mit Gangbreiten a und b transportieren kann (siehe Skizze)? Hinweis: man minimiere die Länge der Strecke durch den Eckpunkt und den Endpunkten auf den beiden Außenseiten.

3. Bei einem Wurf eines Steines in der Ebene beträgt die Wurfweite w = \frac{2v^{2}}{a} sin(α) cos(α), wobei v die Anfangsgeschwindigkeit ist, a = 9.61\frac{m}{sec^{2}} die Erdbeschleunigung, und α der Wurfwinkel. Wie ist dieser zu wählen, damit die Wurfweite maximal wird (bei konstanter Anfangsgeschwindigkeit)?

4. Man berechne die lokalen Extremstellen der Funktion

f : ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ x^{2} + x + x^{2}y^{2}.

5. Man verschaffe sich Zugang zu Software, mit die Extrema von Funktionen der Art

f : ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ (x^{2} + y^{2} − 1)(x^{2} + y^{2} − x)

berechnet werden können.

6. Man berechne eine Rechtecksumme der Funktion f : [0, 1], x ↦ x^{2}, zu einer Zerlegung mit Schrittweite h ≤ 0.1.

7. Man berechne eine zweite Rechtecksumme derselben Funktion wie in Beispiel 6 zu einer anderen Zerlegung mit Schrittweite h ≤ 0.1. Wie groß ist die Differenz der beiden Rechtecksummen?