9. Übungszettel Mathematik 1 (Analysis) Sommersemester 2003

1. Man berechne Stammfunktionen von f_{α} : ℝ^{+} → ℝ, x ↦ x^{α} für alle α ∈ ℝ.

2. Man verschaffe sich Zugang zu Software, mit der man Stammfunktionen von Funktionen der Art f(x) = sin(ax)^{5} − \sqrt{e^{x} + b} berechnen kann.

3. Man berechne die Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen f(x) = x^{2} + x + 4 und g(x) = 2x^{2} + x eingeschloßen wird.

4. Der Graph der Funktion

f : [−5, 5] → ℝ, x ↦ \sqrt{169 − x^{2}} − 10

(Kreisbogen) rotiert um die x-Achse. Man berechne das Volumen des Rotationskörpers. (Zur Berechnung sollte ein Programm wie in Beispiel 2 eingesetzt werden, die Stammfunktion ist von Hand schwer zu finden.)

5. Der Rotationskörper in Beispiel 4 ist ein Faß. Man berechne den Radius R_{1} der beiden Randscheiben sowie den Radius R_{2} des Querschnitts in der Mitte. Man vergleiche das Ergebnis von Beispiel 4 mit der Keplerschen Faßregel V = \frac{H(2R_{2}^{2}+R_{1}^{2})π}{3}.

6. Ein mit Flüßigkeit gefülltes zylindrisches Glas (Radius der Grundfläche R, Höhe H) steht zuerst auf der xy-Ebene, mit Mittelpunkt im Nullpunkt, und wird dann soweit um die y-Achse gekippt, bis der Flüssigkeitsspiegel in der Höhe der xy-Ebene ist (siehe Abbildung). Man zeige, daß die Ebene y = y_{0} den von Flüssigkeit ausgefüllten Körper in einem rechtwinkeligen Dreieck mit Seitenlängen \sqrt{R^{2} − y_{0}^{2}} und \frac{H}{R} \sqrt{R^{2} − y_{0}^{2}} schneidet.

7. Notation wie in Beispiel 6. Man berechne das Volumen der Flüßigkeit, die sich im Glas befindet, durch Integration der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks nach y.